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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

8. Determine la cantidad de soluciones que tienen las siguientes ecuaciones
a) $x^{7}+3 x^{5}+2 x+1=0$

Respuesta

Como vimos en los ejemplos en clase, para responder esta pregunta vamos a definir:

$f(x) = x^{7}+3 x^{5}+2 x+1$

y hacemos un análisis completo de esta función. Una vez que tengamos el gráfico aproximado vamos a poder responder la pregunta que nos hace el enunciado. 

Seguimos con la misma estructura que venimos usando.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$ En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$

$\lim_{x \to +\infty} x^{7}+3 x^{5}+2 x+1 = +\infty$ 

$\lim_{x \to -\infty} x^{7}+3 x^{5}+2 x+1 = -\infty$   3) Calculamos $f'(x)$:
\( f'(x) = 7x^{6} + 15x^{4} + 2 \) 
  4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:

\( 7x^{6} + 15x^{4} + 2 = 0\) 

Fijate que, como $x$ siempre está elevado a potencia par, esta expresión nunca nunca puede valer cero. Por lo tanto, $f$ no tiene puntos críticos. 

Y además, veamos que $f'(x)$ es siempre positiva, por lo tanto, $f$ es siempre creciente.  

Entonces, el gráfico de $f$ nos queda así:

2024-04-20%2010:20:38_2969969.png

Y ahora, mirando el gráfico, vemos que $x^{7}+3 x^{5}+2 x+1=0$ tiene una única solución.
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Avatar Fernando 22 de mayo 23:06
En este ejercicio recorde a bolzano y pude encontrar entre el intervalo de x (-1,0) una solucion :) .
Avatar Flor Profesor 23 de mayo 09:45
@Fernando Muy bieeeen! Igual tranqui que si vos estás haciendo este ejercicio en el parcial y venis medio corto de tiempo, tranquilamente podés no marcar donde corta al eje $x$ exactamente... total fijate que la pregunta de cuántas soluciones había la podíamos responder igual :)
Avatar Benjamin 21 de mayo 19:03
el lim de cuando x tiende a menos infinito de f(x), no queda como indeterminacion infinito menos infinito?
Avatar Flor Profesor 21 de mayo 21:28
@Benjamin Veo que esto te volvió loco practicando hoy jajaja... creo que fue de lo primero que te respondí hoy, porfa avisame si esto queda claro!
Avatar Benjamin 22 de mayo 08:23
sisis, ya me esta quedando claro ahora jaja, pasa que como no estaba indicado en la resolucion pense que habia algo mal pero no
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